关注微信：duodaamath 每天获得更多数学趣文

作者，大漠，哆嗒数学网群友，高中生。

符号及一些说明

有三组不同的对象：点，直线，平面

点用a,b,c,d……来表示；

直线用a,b,c,d……来表示；

平面用α,β,γ,δ……来表示。

点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素

那么点，几何元素之间又有一定的相互关系

点a在直线a上：a∈a

点a在平面α上：a∈α

直线a在平面α上：a?α（直线的每一点都在平面上）

点b在点a与点c之间：b∈ac（我自己规定的符号）

线段ab与cd相等：ab=cd（原书是用≡号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）

∠aob与∠cod相等：∠aob=∠cod

等等……

（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）

在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是{(x,y)|ax+by+c=0}，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。

我这里的关系符号∈，?，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。

总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）

公理i关联公理

本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）

i1：对于两点a和b，恒有一直线a，使得a,b∈a（存在性）；

i2：对于两点a和b，至多有一直线a，使得a,b∈a（唯一性）；

（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）

i3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；

i4：对于不在同一直线的三点a,b和c，恒有一平面α，使得a,b,c∈α；（存在性）对于任一平面α，恒有一点a，使得a∈α；

i5：对于不在同一直线的三点a,b和c，至多有一平面α，使得a,b,c∈α；（唯一性）

（对于4,5，我们可以说三点确定一平面）

i6：若a,b∈a且a,b∈α，则a?α；

i7：若两平面α，β有一个公共点a，则他们至少还有一个公共点b；

i8：至少有四点不在同一个平面上。

以上。

其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。

公理ii顺序公理

本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。

ii1：对于点a,b,c，如果b∈ac，则点a,b,c是直线上不同的三点；这时，b∈ca也成立；（如图）

"

ii2: 对于点a,b∈a，恒有一点c∈a，使得b∈ac；（如上图）

ii3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；

根据上面，我们就可以定义线段了：

对于直线a和直线上的两点a,b；我们把这一点对{a,b}称为线段，用ab或ba表示。在a和b之间的点叫做线段ab的点；a点和b点叫做线段ab的端点。

ii4:设a,b,c是不在同一个平面的三点：对于在平面abc且不经过点a,b,c的直线a，若a交于线段ab的一点，则它必定交于线段ac或cb的一点（如图）

"

以上。

接下来定义射线

"

先定义同侧：设a,a’,o,b是直线a上的四点，而o在a,b之间，但不在a,a’之间，则a和a’称为在a上点o的同侧，而a,b两点称为异侧。

那么射线就定义为直线a上点o同侧的点的全体。比如与上图关于点o与b同侧的射线我们记为ob（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）

公理iii合同公理

本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。

iii1：对于线段ab和一点a'，恒有一点b'，使得线段ab与线段a'b'相等，记为ab=a'b'

因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：

ab=a'b'，ab=b'a'，ba=a'b'，ba=b'a'

iii2：若ab=a'b'且ab=a"b"，则a'b'=a"b"；

（根据1,2，我们才能得到线段ab与自己相等，才能得到ab=a'b'与a^' b^'=ab等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）

iii3：线段ab，bc在同一直线a上，且无公共点；线段a'b'，b'c'在同一直线a'上，且也无公共点。如果ab=a'b'且bc=b'c',则ac=a'c'

这条公理还要求线段能够相加，可以定义ab+bc=ac（其中a,b,c共线）

相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。

我们先定义角的概念：

对于不同一直线的三点o,a,b，射线oa，和射线ob的全体我们称为角，记为∠aob。o称为∠aob的顶点，射线oa，和射线ob称为∠aob的边。

同样与a,b的次序无关。

根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。

iii4：对于∠aob，和一条射线o'a'，在射线o'a'所在的一个平面内，有且只有一条射线o'b'，使得∠aob与∠a'o'b'相等，记为∠aob=∠a'o'b'。而且有∠aob=∠boa。

如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的

∠aob=∠a'o'b'，∠aob=∠b'o'a',∠boa=∠a'o'b^',∠boa=∠b'o'a'

然后先定义三角形：线段ab,bc,ca所构成的图形，记为△abc。

iii5：若△abc与△a'b'c'，有下列等式

ab=a'b',ac=a'c',∠bac=∠b'a'c'

则有∠abc=∠a'b'c',∠acb=∠a'c'b'.

这条公理可以理解为三角形全等（sas），事实上sas这个公理的直接推论。

公理iv平行公理

这条公理显得很苍白，但在历史上很重要……

先定义平行：

对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为a∥b.

iv（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，a是a外的任意一点，在a和a所决定的平面上，至多有一条直线b，使得a∈b且a∥b。

根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。

公理v连续公理

v1（阿基米德原理）：对于线段ab,cd，则必定存在一个数n，使得沿着射线ab，自a作首尾相连的n个线段cd，必将越过b点。

在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个正数a,b，必存在正整数n，使na>b

v2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的a∈a，b∈b，则总存在一个点c，c∈ab。

也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理i~iv的

（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）

要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！

关注微信：duodaamath每天获得更多数学趣文

国产剧公理高清在线观看由没事影院整理于网络，并免费提供公理剧照，公理hdbd高清版，公理酷播在线播放等资源，在线播放有酷播，腾讯视频，优酷视频，爱奇艺视频等多种在线播放模式，在播放不流畅的情况下可以尝试切换播放源。观看《公理》切勿长时间用眼过度，避免用眼疲劳，如果你喜欢这部片子，可以分享给你的亲朋好友一起免费观看。没事影院收集各类经典电影，是电影爱好者不二的网站选择！