记时就是用数来刻画时间。数学的最基本来源与目的就是用数来刻画时间与空间，进而描述事件发生的空间与时间之间的关系。

对人类来说，时间的第一个感觉是每天的日出日落。由雄鸡的报晓声来提醒我们。

早先我们又把每天分成12个时辰。每个时辰又用沙漏细化，分成4刻。后来发现沙漏的计算与日出日落的计算有矛盾，夏天日长，冬天日短。或者说日出的周期不如沙漏的周期来得稳定。所以又发明了日晷，用来修正以太阳——日，作为标准的时间定义与度量。

最简单的日晷就是在地上树一根竹竿，把每天竹竿的太阳阴影最短的时刻定为正午，这比将太阳升起作为标准点精确多了。用稍微科学的语言，我们是用地球的自转周期来定义时间的，基本单位是“天”。

另有人认为，我们也可以用月亮的阴晴圆缺来定义时间，或者说用月亮的自转或公转周期定义“月”。日晷已经考虑了太阳照在竹竿上阴影长度的周期变化，这是地球的公转周期，我们可以用来定义“年”。也就是说，又找出全年正午的竹竿阴影最短的那天，定义为夏至，而竹竿阴影最长的那天定义为冬至。

随着科学的发展，人们用更加精确的手段来定义时间了，最著名的当然是钟摆了。如果钟摆的发明有专利，那么它一定是最贵的专利了。现在最准确的是用电子振荡，或者说用光走过的路程来定义时间。

上面的各种定义都基于一些假设，如日出行为是周期的，地球自转是周期的，公转是周期的，钟摆运动是周期的，电子振荡是周期的。这里的周期是指稳定的周期。时间的越来越精确的定义来源于我们发现了越来越稳定的周期行为。日出的周期不如日中的周期来得稳定，竹竿阴影不如钟摆来得稳定，地球公转周期不如电子振荡来得稳定。这里有一个根本的问题：电子振荡就一定是完全稳定的吗？

回到公鸡叫鸣，显然不是周期的，这个鸡与那个鸡叫的也不同。

钟摆是稳定的吗？学了点数学后知道，钟摆放在不同高处周期是不同的。放在北极与赤道处也是不同的。

那么什么是标准呢？我们可以定一个标准吗？由于大英帝国的实力，世界通用格林尼治时间，这只是每天零点的标准。我们处在东8区，那么北京时间的零点要比格林尼治时间早8小时。这是另外一个概念、另外一个标准。这是时间原点的标准，不是时间长度的标准。

我们不妨假设在格林尼治做了两个一模一样的钟摆，譬如讲每秒摆一次，作为时间长度的标准。一个就放在格林尼治，一个拿到北京来作为标准时间的分身。过一段时间后你就会发现在北京一天就不是24×60×60秒了。

是这个钟摆坏了吗？拿回格林尼治，与格林尼治的钟摆进行比较，摆的周期还是一样的，但总的摆的次数就已经不一样了。

简单地说，放在格林尼治与放在北京摆的周期是不一样的。时间度量与空间度量不同。空间度量可以做一些标准尺（米），分发到各地以统一度量衡。时间度量在某地制作的标准时间钟表，分发到各地它们会闹独立，各行各事。你从瑞士买来一个名表，回到国内，你就要调整摆的长度，这样在国内才能走得准。你们会说，电子振荡的钟表不会。我要告诉你，那只是你还没有发现，还没有感觉到。

重量单位也是如此，一立方米纯净水定义为1000千克。但是水有热胀冷缩，你说在标准温度下的不就得了吗？因为温度又是用汞或酒精（墙上的温度计用的是酒精，热胀冷缩度比水大一些）的体积来度量的。也就是说，重量与温度都是用空间来定义，但定义标准重量需要标准温度，定义标准温度又需要标准重量。这里就有了先有鸡还是先有蛋的问题。

曾经与一些物理学家讨论过这样的问题，光速是稳定的常数吗？他们说可以测量，得到的结果证明，光速是稳定的常数。那么我就又问了一个问题：怎么测量的？测量时时间是怎么定义的？事实上，测量光速是常数，是在假设光速是常数的基础上证明光速是常数。这是一种循环论证。这里还引出了一个更加基本的问题：我们是用空间来（光跑的路程，地球的公转路程）定义时间的。

时间是可以用空间来定义的吗？

我们根本无法定义脱离空间的时间或者说上帝的时间。我们只能用我们所看到的一个看起来比较稳定的周期现象来定义时间。这样就一直陷于一个循环论证的魔圈。从一开始认为日出是有稳定周期的，到现在认为光速或电子振荡周期是稳定的常数，难道不是一直这样吗？但根本的问题是，有绝对稳定的周期现象吗？

对于第一个问题，如果我们发现了更为稳定的物理现象，那么就又可以提高时间度量的准确性了。对于第二个问题，那就属于哲学的范畴了。时间是用来度量事件的，本来应该脱离具体的事件。但是没有办法，我们只能与某种标准事件发生的周期比较，现在我们比较的标准对象是光速。

宇宙大爆炸理论是大家熟悉的。那么人们是怎么感受到我们的宇宙是在爆炸状态呢？我们是怎么测量到遥远的星球还在远离我们呢？测量技术很简单，我们发一个光波，发现回波的周期变长了。所谓“红移”，就是光谱向红的方向移动了，或者说光波的周期变长了。那么会不会光波本来就不是完全周期的，而是随着时间在逐渐变长呢？

这就要讨论时空的数学表示了，通常我们把它叫做四维时空。那么这四维是哪四维呢？一个简单的方法是将时间添加（数学上叫张量积）到三维空间上，即（x, y, z, t)。这样成为四维空间。

那么一个基本的问题就来了：空间方向是可以任意移动的，数学上叫做平移不变的。但时间过了就过了，回不到从前。我们在介绍三维空间质点时就已经指出，是不可以这样随性添加的。四维质点应该用格拉斯曼（grassmann）坐标，即(mx, my, mz, m)，这样才能保持质量空间的结构与运算。或者说，加法、数乘有明确的物理意义。

还有一个问题：时间是用秒还是用小时作为单位度量，空间是用米还是用千米作为单位？

有人认为这不是什么问题，这只是时间上的拉伸与压缩。可是你应该注意到，时间换了一种度量，那么原来垂直的向量就可能不垂直了。

简单地说，如果你想建立四维时空，那么时间上与空间上应该采用一样的度量单位或量纲。就好像你不能在x方向用“米”，而在y方向用“尺”，这样你就不好度量(x, y)空间上两点的距离。

爱因斯坦（albert einstein，1879—1955）建议：在时间上用ct，这里c是光速，不是一个简单常数，是有物理意义的，有量纲“长度/时间”的。这时四维时空上的度量单位或者量纲都是一样的了、统一了，都是空间度量单位或量纲了。这是狭义相对论的基础。

爱因斯坦与数学家闵科夫斯基（hermann minkowski，1864—1909）讨论了这个问题，闵科夫斯基经过仔细计算，建议用ict。爱因斯坦就是在此基础上发展了广义相对论。在三维空间你可以用一把尺子，度量任何方向的距离，现在在时间轴方向，量纲是一样的了，但你无法将尺子移过去，这是一个虚的方向，所以要将ct改成ict。

这也就是爱因斯坦狭义相对论推导出在接近光速飞行时尺子会变短的原因，因为运动时尺子是放在闵科夫斯基四维时空的。

静止时尺子躺在我们看得见的三维实空间里。而在高速运行时，尺子不是一直平行于三维实空间的，会有些倾斜，这样在我们看得到的三维实空间的投影就变短，而在时间虚空间的投影在变长。闵科夫斯基告诉我们，在闵科夫斯基四维时空，尺子的总长度还是保持不变，或者说，我们本来就是假设一把定长的尺子在闵科夫斯基四维时空移动，而在人们眼中长度在发生变化。

时间度量是非常主观的，是我们感觉或者想象出来的。一开始是靠公鸡打鸣感觉，现在靠光走的路程感觉。

有一种说法，年纪大的觉得时间过得很快，而年纪小的觉得时间过得慢。很多人都有这样一种感觉，随着年龄的增大，时间流逝的速度越快。小朋友感觉时间非常缓慢，而老年人却觉得时间倏然而逝。小时候我们回忆一年前的事情便感觉发生了很久很久，而老年人一说起从前便是以10年为单位，并且恍若昨日。

西方一些心理学家有这样一种解释，非常有趣。对一个5岁的孩子来说，一年是他一生的五分之一；当他到了6岁时，从5岁到6岁的一年是他人生的六分之一……而对一个50岁的人来说，一年只是他一生的2%。1877年，珍妮特提出这种“比例原理”，表明我们正在不断地将时间间隔与我们已经度过的全部时间数量相比较。这是我们每个人的事件记忆，与他自己的标准时间在做比较。我们也可以把它叫做自我时间相对论。

在生物遗传基因突变的计算中，我们经常用“代”（好像也是一种周期）来作为标准的时间单位的。但是，对于蝴蝶（一年可能有好几代）和乌龟（好几十年才一代），时间的标准是不一样的。当然，有些病毒一秒钟就有好几代。我们可以这么认为，会有大概率的可能，即这种病毒100年前与现在已经产生了许多变异，而100年前的大象与现在的就没有什么不同。这是说，对于我们观察对象的不同，时间也是不同的，或者说相对的，这是对象时间相对论。

对于时间函数或者说记录历史的函数f(t)，从0到t积分。我们可以把它看作记忆，是历史事件的总和。把它再积分几次（n次，反复回忆），那么用数学归纳法可以写成

也就是说，过去的事件因被反复回忆而有较大的权，近期事件因回忆次数较少只有较小的权。这也是老年人能记得很久以前的事，而反而忘了今天早上的事情的原因。所以有句老话说：好汉不提当年勇。一个人如果经常沉浸在过去的荣耀中，那么可能离老年痴呆也就不远了。

《数学之外与数学之内（1-3）》

田刚 吴宗敏 主编

范仁梅 梁玲 编辑

数学之外是指数学从哪里来？数学又要到哪里去？数学之内就是要回答数学是什么？是指数学学科内部各学科方向之间的关联与侧重，以及数学学科内部的关键问题。

本书为中国科学技术协会“中学生英才计划”数学工作委员会编辑的科普类读物,是“中学生英才计划”数学工作委员会在多次调研的基础上,听取了参加“中学生英才计划”的学生及教师的建议,邀请工作委员会的成员及部分特邀著名高校的教授撰写的。与中学数学那样按部就班地灌输知识不同，本书是作者按照自己的思路，想写什么就写什么，其目的是提出并讨论数学的对外联系及数学的根本问题，将数学教育从答题、知识点教育扩展到问题来源及应用前景的分析与展望；特别是对数学根本问题的探索与讨论,从中学开始了解解决根本问题的思想和方法,以提高学生的创新能力及对数学根本问题的兴趣与好奇心。

传统的中学数学教育的特征是配方式的“细粮饲料”，填鸭式的喂养灌输，缺少“粗粮”与“杂粮”。本书只是数学学习生活的调料，以增加新思想的味道；只是餐余，以增加产生新思想的肥料，其特征就是——杂。希望这本书可以给吃惯“细粮”的同学，品尝一点“粗粮、杂粮”，以补充学习营养的单一性。书中的文章也是按文章名的顺序编排，让读者自己去发现它们之间的关系。

田刚 北京大学数学科学学院院长，中国科学院院士。
吴宗敏 复旦大学数学科学学院学术委员会主任，“长江学者奖励计划”特聘教授